Tu pez interior: serie documental starring el propio Neil Shubin, descubridor del Tiktaalik

https://www.youtube.com/watch?v=xsvqvyQoL6w

1) Determine si la siguiente forma de razonamiento es válida o inválida:

Algún A es B
Algún B es C
------------------------
Algún A es C


2) ¿V o F? Justifique claramente su opción en cada caso.

(a)  "Si una foma de razonamiento solamente admite ejemplos con combinaciones V/V,  F/V, F/F, entonces es válida".
 
(b)  "Si un razonamiento válido tiene premisas falsas, su conclusión debe ser falsa"

(c) "Un razonamiento inválido debe tener premisas verdaderas y conclusión falsa".

(d) "Una forma inválida de razonamiento debe tener algún ejemplo con premisas verdaderas y conclusión falsa"





3)  Determinar si los siguientes razonamientos son válidos abstrayendo su forma y usando tablas de verdad.


(i)  Si Manuel es vegetariano, no come carne.
      Manuel come carne
Por tanto, Manuel no es vegetariano

(ii)  Si Manuel es vegetariano, no come carne.
      Manuel no come carne.
Por tanto, Manuel es vegetariano.

(iii) Manuel es vegetariano o es vegano.
      Manuel no es vegano.
por consiguiente, Manuel es vegetariano.

(iv) Manuel contrajo sífilis o HIV
      Manuel contrajo HIV
     Por tanto, Manuel no contrajo sífilis.

(v) La muestra de hidrógeno gaseoso ocupa el mismo volumen que la muestra de oxígeno gaseoso.
    La muestra de hidrógeno gaseoso ocupa el mismo volumen que la muestra de oxígeno gaseoso si y sólo si la muestra de oxígeno gaseoso tiene aproximadamente el mismo número de moléculas que la muestra de hidrógeno gaseoso. (*)
  Por tanto, la muestra de oxígeno gaseoso tiene aproximadamente el mismo número de moléculas que la de hidrógeno gaseoso.


(*) Tabla para el conectivo SI Y SÓLO SI (<--->, bicondicional): A <--->B es V sólo cuando los valores de A y B coinciden; si A y B tienen distinto valor, A <-->B es F.

Hoy comenzamos a emplear la semántica proposicional (tablas de verdad, etc.) para evaluar  la validez o invalidez de los razonamientos formulados en lógica proposicional. Al comenzar el curso habíamos caracterizado las formas válidas como aquellas que hacían lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En otros términos, las formas válidas eran aquellas para las que no había ninguna posibilidad lógica de tener premisas V y conclusión F (ninguna posibilidad, pues, de contraejemplo).

Ahora vamos a traducir este concepto a la semántica proposicional, y diremos que una forma es válida si no hay ninguna posibilidad lógica (valuación) en que las premisas quedan todas V y la conclusión F. Estas "posibilidades" son, como ya sabemos, representadas por renglones de una tabla de verdad. Así, una forma de razonamiento es reconocida como válida si en ninguna valuación (renglón de tabla) nos quedan todas sus premisas V y su conclusión F. Si hay al menos una fila tal, la forma es inválida.


Esto nos permite determinar efectivamente si un razonamiento concreto formalizable en lógica proposicional es o no válido.

Ejemplo. Consideremos el razonamiento siguiente:


Si salimos con lluvia, nos mojamos.
No salimos con lluvia
Por tanto,
No nos mojamos

Formalizando el razonamiento (i.e. traduciéndolo al lenguaje de la lógica proposicional), queda la estructura siguiente

p--->q
-p
-------------
-q



(donde "p" representa "Salimos con lluvia" y "q" representa "Nos mojamos")

(Esto se lee:

Si p entonces q
No-p.
Por tanto,
No-q.)

Resulta que el razonamiento es inválido, dado que esta forma es inválida. Podemos dar contraejemplos "de entrecasa" para mostrar su invalidez. Por ejemplo:

Si Sofovich fue decapitado, entonces Sofovich murió. (V)
Sofovich no fue decapitado. (V)
Por tanto,
Sofovich no murió.   (F)


Muy bien, es inválida, tiene un contraejemplo que muestra que la forma en cuestión puede llevar de premisas V a conclusión F. Pero, ¿si no se nos ocurría ningún contraejemplo? Eso podría significar que tenemos muy poca imaginación, y no que la forma es inválida: el contraejemplo podría existir, sin que a nosotros se nos ocurra.

En otros términos: al manejarnos sólo con ejemplos intuitivos o "de entrecasa", tenemos sólo la posibilidad de mostrar INVALIDEZ  (si hallamos un contraejemplo) pero no de demostrar VALIDEZ (ya que no encontrar un contraejemplo no implica que no exista).


La situación cambia al analizar la cuestión con métodos de semántica proposicional (tablas de verdad, etc.) Ahora estamos en condiciones de dar un análisis más efectivo - un CRITERIO EFECTIVO - para determinar si la forma es o no válida.

Eso lo hacemos como sigue.

Para continuar con nuestro ejemplo, las valuaciones ("posibilidades") relevantes para esta forma son 4, ya que sólo aparecen 2 letras distintas. Tras listar sucesivamente las premisas y la conclusión, evaluamos ésta y aquellas en cada fila (= renglón), y nos fijamos si hay alguna fila en que nos queden las premisas (todas) V y la conclusión F. Veámoslo pues fila por fila:


p   q      p--->q (1a prem.)    -p (2da prem.)    -q  (conclusión)

V V         V                           F                        F
V F          F                           F                        V
F V          V                           V                        F
F F          V                            V                        V


Vemos que en la tercera valuación (fila) nos quedan ambas premisas V y la conclusión F. Esto muestra que la forma es inválida. Es decir, el caso en que p es F y q es V hace verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión, y por tanto proporciona un contraejemplo lógico a la forma evaluada. (Si, en cambio, no hubiera en la tabla ninguna valuación como ésta - premisas V y conclusión F -, la forma sería válida.)

Entonces, éste es un procedimientopara saber si un razonamiento proposicional es válido:

1) Formalizar: abstraer la forma lógica del razonamiento, traduciéndolo al lenguaje formal
2) Hacer una tabla conjunta para las premisas y la conclusión del razonamiento formalizado.
3) Buscar un posible contraejemplo lógico, es decir, vaulación/renglón en que las premisas sean todas V y la conclusión F.
4) ¿Hay una valuación tal? La forma es inválida (y por ello el razonamiento evaluado es inválido). ¿No hay una valuación tal? La forma es válida (y por tanto el razonamiento evaluado es válido).


Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

Marx escribió La filosofía de la miseria o escribió La lucha de clases en Francia.
Marx no escribió La filosofía de la miseria
Por tanto,
Marx escribió La lucha de clases en Francia.


La forma lógica es:


p v q
-p
----------
q


(donde "p" representa "Marx escribió La filosofía de la miseria" y "q" representa "Marx escribió La lucha de clases en Francia".)


Sigamos el procedimiento que mencionamos anteriormente para determinar si esta forma es válida:


p   q      p v q (1a prem.)     -p (2da prem.)     q  (conclusión)

V V         V                           F                        V
V F          V                           F                        F
F V          V                           V                        V
F F          F                            V                       F

 


¿Hay algún contraejemplo lógico? No. En los únicos renglones en que la conclusión es F (renglones II y IV), al menos una premisa es también F. Por tanto, al carecer de contraejemplos, la forma es válida, y el razonamiento original (que tenía esa forma) es por ello válido. (De hecho, esta forma válida de razonar es llamada silogismo disyuntivo y su validez ya era reconocida por los filósofos estoicos griegos, siglo 3 a.C.)



En estos ejercicios, ¿hay posibilidad de que exista un contraejemplo lógico y no lo encuentre? No deberia, porque la tabla es una lista FINITA de renglones. Sólo hay que inspeccionarla rengón por renglón, y la inspección de cada renglón es una tarea efectiva (no requiere pensamiento sino mera constatación mecánica). Obviamente, esto presupone que uno sabe hacer las tablas bien, pero esto es también una tarea efectiva (no requiere pensar, sino seguir procedimientos mecánicos). Una computadora puede hacerlo perfectamente (y mucho más rápido que nosotros).


Curiosamente, cuando pasamos a un nivel superior de la lógica (la lógica cuantificacional, que no hemos estudiado), la tarea de determinar si una forma es válida no es, en general, mecánica: no hay máquina que pueda librarnos de la difícil pero fascinante tarea de pensar creativamente al evaluar la validez de una forma de razonamiento, es decir, al evaluar si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas. Que la tarea de decidir en general si una conclusión se sigue o no de un conjunto de premisas NO es una tarea mecánica - que no puede ser resuelto por computadoras -  es lo que se conoce como teorema de Church, por Alonzo Church, el matematico estadounidense que lo demostró allá por 1936.


Palabras del día.

Tiktaalik
Archaeopteryx

¿A qué se refieren?

EJERCICIOS en breve para hacer para el lunes.

Ejercicios para el jueves.


1)  ¿V o F?  Justifique su opción en cada caso

(a)  Si la conclusión de un razonamiento válido es falsa, no pueden ser todas sus premisas verdaderas............
(b) A la lógica la interesa determinar si las oraciones que figuran en los razonamientos se ajustan a la realidad............
(c) La validez de un razonamiento depende de su contenido más que de su forma..................
(d) Un razonamiento inválido con premisas verdaderas debe tener conclusión falsa................


2) Encuentre un contraejemplo a la siguiente forma de razonamiento:


Algún A es B
Ningún B es C
-------------------------
Algún C no es A


3)  Mediante tablas, determine cuál o cuáles de los siguientes pares contiene fórmulas lógicamente equivalentes:


(i)    p&q  ..... (pv-q)

(ii)   (p--->q)   .....   (-q--->-p)

(iii)  -(pvq)   .....   (-p v -q)

(iv)  -(p&q)   ......  (-p&-q)


4) a) Mostrar que la siguiente forma es inválida hallando un contraejemplo para la misma (es decir, mostrando con un ejemplo de sustitución concreto  - sustituyendo A, B, C por predicados castellanos apropiados - que las premisas pueden ser verdaderas sin que lo sea la conclusión, y que por tanto esta forma de razonar nos puede llevar de premisas V a conclusión F.
 
 Todo A es B
Algún B es C  
...............................
 Algún A es C
 
b) Mostrar, con otras sustiuciones, que esta forma inválida puede llevarnos también de premisas V a conclusión V, de premisas F a conclusión V y de premisas F a conclusión F.

Hoy resolvimos los ejercicios pendientes y comenzamos a analizar la noción de VALIDEZ de un razonamiento deductivo.

Elucidamos algo rápidamente la noción de razonamiento válido.

Dejo unas consideraciones sobre el concepto de validez basadas en lo que dijimos hoy. Es conveniente que lean las seciones correspondientes de Romero y Valente o Copi.

1. Los razonamientos son válidos o inválidos dependiendo de su FORMA (o estructura); no de su contenido.

2. En los razonamientos válidos, la conclusión de desprende (es consecuencia lógica de) las premisas; en los inválidos, la conclusión no se desprende de las premisas, no es una consecuencia lógica de ellas.

3. Las formas de los razonamientos válidos - las formas válidas - son aquellas que no admiten ningún ningún ejemplo con premisas V y conclusión F (a un ejemplo tal, que muestra la invalidez de una forma de razonamiento, se lo denomina "contraejemplo" a la forma en cuestión). Las formas inválidas son las que admiten por lo menos un contraejemplo.
 
4. Una forma inválida puede tener ejemplos en que las premisas y la conclusión son de hecho verdaderas. En otros términos, puede haber razonamientos inválidos concretos en que las premisas y la conclusión queden todas verdaderas. Pero el razonamiento es inválido porque la conclusión no se desprende necesariamente de las premisas; o de un modo más técnico, porque su forma admite por lo menos un contraejemplo. Por eso, escribir oraciones verdaderas una atrás de la otra no es lo mismo que razonar bien: para razonar válidamente, la conclusión (la última oración, en general) debe seguirse de las anteriores de manera lógica, con independencia de si son verdaderas o falsas. Y esto significa que el razonamiento entero debe tener FORMA válida.
 
5. La validez de un razonamiento NO implica que las premisas y la conclusión son verdaderas. Lo que implica es que SI las premisas son verdaderas (todas ellas), ENTONCES la conclusión debe serlo necesariamente también.
 
6 La única combinación de valores de verdad en premisas y conclusión que me dice algo sobre la validez o invalidez de un razonamiento concreto es: Premisas V, Conclusión F: eso implica que el razonamiento es inválido.

 Todas las demás (tres) combinaciones las podemos encontrar tanto en razonamientos de forma válida como en razonamientos de forma inválida.


Ejemplo: convinimos hoy que la siguiente forma de razonar es válida, y por tanto todo razonamiento concreto que tenga esta forma es valido:

Todo A es B
Todo B es C
-----------------------
 Todo A es C

Si las pemisas de un razonamiento de esta forma son V, entonces lo será necesariamente su conclusión.

Por ejemplo, si las premisas fueran verdaderas, como en:

Todo hombre es primate (V)
Todo primate es mamífero (V)

la conclusión, "Todo hombre es mamífero" deberá ser verdadera (lo es, por supuesto).

¿Pero si las premisas de esta forma válida fueran falsas? ¿Cómo sería la conclusión? La respuesta es: podría ser tanto verdadera como falsa, según los casos. Veamos un caso de esta misma forma válida de razonamiento en que premisas nos quedan F y conclusión V:


Todo correntino es chino   (F)
Todo chino es argentino  (F)
------------------------------------------
Todo correntino es arentino  (V)

También pueden darse ejemplos de esta forma válida en que las premisas son F y la conclusión es también F (¡inténtenlo!). Lo que NUNCA vamos a encontrar son casos de premisas V y conclusión F, ya que es una forma válida de razonar.

Dejo como ejercicio encontrar razonamientos de forma inválida con todas las combinaciones (V/V V/F F/V F/F). Más concretamente:

a) Mostrar que la siguiente forma es inválida hallando un contraejemplo para la misma (es decir, mostrando con un ejemplo de sustitución concreto - sustituyendo A, B, C por predicados castellanos apropiados - que las premisas pueden ser verdaderas sin que lo sea la conclusión, y que por tanto esta forma de razonar nos puede llevar de premisas V a conclusión F.)

 Todo A es B
Algún B es C
...............................
Algún A es C

b) Mostrar, con otras sustiuciones, que esta forma inválida puede llevarnos también de premisas V a conclusión V, de premisas F a conclusión V y de premisas F a conclusión F.

Resumiendo el tema de la relación entre validez y combinación de V y F:


Las tres combinaciones V/V F/V F/F las podemos hallar tanto en razonamientos válidos como en razonamientos inválidos.
La combinación V/F sólo puede ser hallada en razonamientos inválidos.

 
7. ¿Cómo sabemos si una forma es válida, es decir, que no tiene ningún contraejemplo? Que no se nos ocurra ningún contraejemplo no significa que no exista ninguno. ¿Cómo estar seguros de que no hay contraejemplos ocultos que todavía no se nos ocurrieron? Esta es una buena pregunta en la que en realidad no hemos entrado todavía. Pero ya vamos a dar criterios para reconocer formas válidas en lógica proposicional, y de este modo estar seguros de que no puede existir contraejemplo para ellas.


Palabras del día.
 
elucidar
foguearse

¿Qué significan? 

Ejercicios para el jueves en breve.

Envío dos soluciones (hechas por alumnos/as de este curso) al problema de los sombreros. Una está bien (buena redacción y buena argumentación) y la otra mal (es inentendible el sentido de su argumentación, si es que la hay; y la redacción es sumamente deficiente). Es útil comparar sus propias soluciones (y sobre todo sus explicaciones) con la primera. También pueden comparar sus soluciones al problema de los 0s y 1s con la que dejé en el blog.


Primera solución.

El problema se puede resolver en dos tapas que utilizan razonamientos por reducción al absurdo (suponer lo contrario de lo que se quiere probar y mostrar que esa suposición nos lleva a absurdos o inconsistencias).

PRIMERA ETAPA. Demostramos que B y C no tienen (ambos) sombrero blanco. Supongamos que así fuera. Entonces A, al verlos, habría deducido que tiene sombrero rojo, ya que había sólo dos sombreros blancos. Como no lo hizo, concluimos que B y C no tienen, los dos, sombrero blanco, es decir que alguno por lo menos tiene sombrero rojo.

SEGUNDA ETAPA. Mostramos que C tiene sombrero rojo, también por reducción al absurdo. Supongamos que tuviera sombrero blanco. Entonces, como B ya sabía que o él (B) o C tiene un sombrero rojo (habiendo hecho el razonamiento que hicimos nosotros en la PRIMERA ETAPA), al ver que C tiene un sombrero blanco habría deducido que es él (B) quien tiene el sombrero rojo. Como no pudo deducir nada, concluimos que C NO tiene sombrero blanco (o sea, tiene sombrero rojo; lo que debíamos demostrar). Razonando de esta manera, C pudo salvarse.


Segunda solución

Podemos suponer que B y C tienen uno un sombrero rojo y otro blanco porque el carcelero trata de engañarlos y hay sólo dos sombreros blancos pero la respuesta de A lo delata es errónea la deducción que hace. B no puede deducir su color y como había dos sombreros blancos solamente y los primeros prisioneros no pudieron decir su color pero debían tener colores mezclados así es como C pudo saber sin mucho esfuerzo que tenía sombrero rojo y no pudo ser engañado por el carcelero como los otros dos lo habían sido. 

Ejercicios para el jueves:

¿Cuáles de los siguientes pares presentan enunciados equivalentes lógicamente? Demuestre su respuesta traduciendo los enunciados en cuestión al lenguaje de la lógica y aplicando tablas de verdad a sus traducciones. Emplee los códigos de traducción sugeridos.


(i)  "Si hoy no hay clase, entonces hubo paro"; "Si hoy hay clase, entonces no hubo paro"

Código:

p: Hoy hay clase
q: Hoy hubo paro

(ii) "No se tiró del balcón o alguien lo atajó"; "Si se tiró del balcón, entonces alguien lo atajó"

Código:

p: Se tiró del balcón
q: Alguien lo atajó

(iii) "Las reservas del Central alcanzan o el ministro mintió"; "Si el ministro no mintió, entonces las reservas del Central alcanzan".

Código:

p: Las reservas del Central alcanzan
q: El ministro mintió

(iv) "Si x < y e y < z entonces x < z"; "Si no es cierto que x < z entonces no es cierto a la vez que x<y y que y < z"

Código:

p: x < y
q: y < z
r: x < z